Mathématiques de base Exemples

$\frac{6}{c + 3} + \frac{3}{c^{2} - c + 9} - \frac{162}{c^{3} + 27}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$\frac{6}{c + 3} + \frac{3}{c^{2} - c + 9} - \frac{162}{c^{3} + 3^{3}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = c$ et $b = 3$ .

$\frac{6}{c + 3} + \frac{3}{c^{2} - c + 9} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - c \cdot 3 + 3^{2})}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{6}{c + 3} + \frac{3}{c^{2} - c + 9} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 3^{2})}$

Étape 1.3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{6}{c + 3} + \frac{3}{c^{2} - c + 9} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{6}{c + 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{c^{2} - c + 9}{c^{2} - c + 9}$ .

$\frac{6}{c + 3} \cdot \frac{c^{2} - c + 9}{c^{2} - c + 9} + \frac{3}{c^{2} - c + 9} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{3}{c^{2} - c + 9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{c + 3}{c + 3}$ .

$\frac{6}{c + 3} \cdot \frac{c^{2} - c + 9}{c^{2} - c + 9} + \frac{3}{c^{2} - c + 9} \cdot \frac{c + 3}{c + 3} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(c + 3) (c^{2} - c + 9)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{6}{c + 3}$ par $\frac{c^{2} - c + 9}{c^{2} - c + 9}$ .

$\frac{6 (c^{2} - c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} + \frac{3}{c^{2} - c + 9} \cdot \frac{c + 3}{c + 3} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{3}{c^{2} - c + 9}$ par $\frac{c + 3}{c + 3}$ .

$\frac{6 (c^{2} - c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} + \frac{3 (c + 3)}{(c^{2} - c + 9) (c + 3)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(c^{2} - c + 9) (c + 3)$ .

$\frac{6 (c^{2} - c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} + \frac{3 (c + 3)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 (c^{2} - c + 9) + 3 (c + 3)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Factorisez $3$ à partir de $6 (c^{2} - c + 9) + 3 (c + 3)$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6 (c^{2} - c + 9)$ .

$\frac{3 (2 (c^{2} - c + 9)) + 3 (c + 3)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Étape 6.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 (2 (c^{2} - c + 9)) + 3 (c + 3)$ .

$\frac{3 (2 (c^{2} - c + 9) + c + 3)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (2 c^{2} + 2 (- c) + 2 \cdot 9 + c + 3)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{3 (2 c^{2} - 2 c + 2 \cdot 9 + c + 3)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Étape 6.3.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{3 (2 c^{2} - 2 c + 18 + c + 3)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Étape 6.4

Additionnez $- 2 c$ et $c$ .

$\frac{3 (2 c^{2} - c + 18 + 3)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Étape 6.5

Additionnez $18$ et $3$ .

$\frac{3 (2 c^{2} - c + 21)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Étape 7

Pour écrire $\frac{3 (2 c^{2} - c + 21)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{c^{2} - 3 c + 9}{c^{2} - 3 c + 9}$ .

$\frac{3 (2 c^{2} - c + 21)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} \cdot \frac{c^{2} - 3 c + 9}{c^{2} - 3 c + 9} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Étape 8

Pour écrire $- \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{c^{2} - c + 9}{c^{2} - c + 9}$ .

$\frac{3 (2 c^{2} - c + 21)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)} \cdot \frac{c^{2} - 3 c + 9}{c^{2} - 3 c + 9} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)} \cdot \frac{c^{2} - c + 9}{c^{2} - c + 9}$

Étape 9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(c + 3) (c^{2} - c + 9) (c^{2} - 3 c + 9)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.1

Multipliez $\frac{3 (2 c^{2} - c + 21)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9)}$ par $\frac{c^{2} - 3 c + 9}{c^{2} - 3 c + 9}$ .

$\frac{3 (2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9) (c^{2} - 3 c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)} \cdot \frac{c^{2} - c + 9}{c^{2} - c + 9}$

Étape 9.2

Multipliez $\frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$ par $\frac{c^{2} - c + 9}{c^{2} - c + 9}$ .

$\frac{3 (2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - c + 9) (c^{2} - 3 c + 9)} - \frac{162 (c^{2} - c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 9.3

Réorganisez les facteurs de $(c + 3) (c^{2} - c + 9) (c^{2} - 3 c + 9)$ .

$\frac{3 (2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)} - \frac{162 (c^{2} - c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9) - 162 (c^{2} - c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1

Factorisez $3$ à partir de $3 (2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9) - 162 (c^{2} - c + 9)$ .

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Étape 11.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 (2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9)$ .

$\frac{3 ((2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9)) - 162 (c^{2} - c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 162 (c^{2} - c + 9)$ .

$\frac{3 ((2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9)) + 3 (- 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 ((2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9)) + 3 (- 54 (c^{2} - c + 9))$ .

$\frac{3 ((2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9) - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.2

Développez $(2 c^{2} - c + 21) (c^{2} - 3 c + 9)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{3 (2 c^{2} c^{2} + 2 c^{2} (- 3 c) + 2 c^{2} \cdot 9 - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.3.1

Multipliez $c^{2}$ par $c^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.3.1.1

Déplacez $c^{2}$ .

$\frac{3 (2 (c^{2} c^{2}) + 2 c^{2} (- 3 c) + 2 c^{2} \cdot 9 - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 (2 c^{2 + 2} + 2 c^{2} (- 3 c) + 2 c^{2} \cdot 9 - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.3.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{3 (2 c^{4} + 2 c^{2} (- 3 c) + 2 c^{2} \cdot 9 - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 (2 c^{4} + 2 \cdot - 3 c^{2} c + 2 c^{2} \cdot 9 - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.3.3

Multipliez $c^{2}$ par $c$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.3.3.1

Déplacez $c$ .

$\frac{3 (2 c^{4} + 2 \cdot - 3 (c \cdot c^{2}) + 2 c^{2} \cdot 9 - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.3.3.2

Multipliez $c$ par $c^{2}$ .

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Étape 11.3.3.2.1

Élevez $c$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (2 c^{4} + 2 \cdot - 3 (c^{1} c^{2}) + 2 c^{2} \cdot 9 - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.3.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 (2 c^{4} + 2 \cdot - 3 c^{1 + 2} + 2 c^{2} \cdot 9 - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.3.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3 (2 c^{4} + 2 \cdot - 3 c^{3} + 2 c^{2} \cdot 9 - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.3.4

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 2 c^{2} \cdot 9 - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.3.5

Multipliez $9$ par $2$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - c \cdot c^{2} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.3.6

Multipliez $c$ par $c^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.3.6.1

Déplacez $c^{2}$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - (c^{2} c) - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.3.6.2

Multipliez $c^{2}$ par $c$ .

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Étape 11.3.6.2.1

Élevez $c$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - (c^{2} c^{1}) - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.3.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - c^{2 + 1} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.3.6.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - c^{3} - c (- 3 c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.3.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - c^{3} - 1 \cdot - 3 c \cdot c - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.3.8

Multipliez $c$ par $c$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.3.8.1

Déplacez $c$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - c^{3} - 1 \cdot - 3 (c \cdot c) - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.3.8.2

Multipliez $c$ par $c$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - c^{3} - 1 \cdot - 3 c^{2} - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.3.9

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - c^{3} + 3 c^{2} - c \cdot 9 + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.3.10

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - c^{3} + 3 c^{2} - 9 c + 21 c^{2} + 21 (- 3 c) + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.3.11

Multipliez $- 3$ par $21$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - c^{3} + 3 c^{2} - 9 c + 21 c^{2} - 63 c + 21 \cdot 9 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.3.12

Multipliez $21$ par $9$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 6 c^{3} + 18 c^{2} - c^{3} + 3 c^{2} - 9 c + 21 c^{2} - 63 c + 189 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.4

Soustrayez $c^{3}$ de $- 6 c^{3}$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 7 c^{3} + 18 c^{2} + 3 c^{2} - 9 c + 21 c^{2} - 63 c + 189 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.5

Additionnez $18 c^{2}$ et $3 c^{2}$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 7 c^{3} + 21 c^{2} - 9 c + 21 c^{2} - 63 c + 189 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.6

Additionnez $21 c^{2}$ et $21 c^{2}$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 7 c^{3} + 42 c^{2} - 9 c - 63 c + 189 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.7

Soustrayez $63 c$ de $- 9 c$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 7 c^{3} + 42 c^{2} - 72 c + 189 - 54 (c^{2} - c + 9))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (2 c^{4} - 7 c^{3} + 42 c^{2} - 72 c + 189 - 54 c^{2} - 54 (- c) - 54 \cdot 9)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.9

Simplifiez

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Étape 11.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 54$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 7 c^{3} + 42 c^{2} - 72 c + 189 - 54 c^{2} + 54 c - 54 \cdot 9)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.9.2

Multipliez $- 54$ par $9$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 7 c^{3} + 42 c^{2} - 72 c + 189 - 54 c^{2} + 54 c - 486)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.10

Soustrayez $54 c^{2}$ de $42 c^{2}$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 7 c^{3} - 12 c^{2} - 72 c + 189 + 54 c - 486)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.11

Additionnez $- 72 c$ et $54 c$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 7 c^{3} - 12 c^{2} - 18 c + 189 - 486)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$

Étape 11.12

Soustrayez $486$ de $189$ .

$\frac{3 (2 c^{4} - 7 c^{3} - 12 c^{2} - 18 c - 297)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9) (c^{2} - c + 9)}$